分詞構文の問題

元の文では driving という動詞の主語がないことが問題です。

では、主語を付けようと思って We were を加えたら、どうでしょうか？
今度は We were driving on the Golden Gate Bridge というちゃんとした文になってしまいます。
the storm 以降の部分もちゃんとした文（それ単独で文として成り立っている単語のかたまり）です。

２つのちゃんとした文をコンマで繋ぐことはできない、というルールがあるので、
さらに When を足すことで、コンマで繋げるようにしてあげます。

［補足］
動詞の現在進行形で始まる文がすべて間違いかというと、そうではありません。

そのような文では、コンマの後の部分の主語が、コンマの前の部分の主語を兼ねる、と解釈します。

元の文なら「ゴールデンゲートブリッジの上を走行していたのは嵐である」ということになります。
いちおう文法的に正しい文ではありますが、意味が破綻していますね。

ということで、どちらにせよ省略はできません。