ﾌﾞﾗﾝｸ.....に適当な語は

No sooner does the music start than the baby stops crying to listen.
音楽が始まるやいなや、赤ちゃんは聞くために泣くのを止める。

ブランクには「sooner」が入ります。「no sooner A than B」という熟語の形で、「AとBがほぼ同時に起こる」という意味です。

AとBのどちらが先に起きるかという順番は、文脈や状況から判断できます。日本語ではこの順番を無視できないことがあるので、日本語に訳して考えるときには、その順番に気をつける必要があります。つまり、「Aが起こるとすぐにBが起こる」という順番になることもあれば、「Bが起こるとすぐにAが起こる」ということもあります。

I had no sooner spoken than my phone rang.
電話が鳴るや否や、私は話し始めた。

よく「Sooner than」を文頭に持って来ます。そのときには、文が倒置されます。

No sooner had I spoken than my phone rang.

ご質問の文も、倒置されています。倒置される前の文はこれです。

The music starts no sooner than the baby stops crying to listen.

この「no sooner A than B」の形は、文語のスタイルなので、日常の会話で使われることは滅多にありません。会話で使うのなら、こう言います。

I spoke as soon as the phone rang.

As soon as the music starts, the baby stops crying to listen.

I recommend the word "matter", but I couldn't have found example sentence on weblio dictionary.
no matter does the music start than the baby stops crying to listen