Everything has its seasonなぜここにitsが入るんですか？

season という名詞は可算名詞なので、特定がなければ a season となります。
ということで、Everything has a season. となりますが、それでは
「すべてのものにはある季節がある。」という意味になります。

ここでいう season は季節というよりは文脈的に「旬」とかそのものが一番よい状態というような意味だと思われます。ということで、なんでもよいある季節、ということではなく、そのものが持つ一番良い状態、という意味だと思われますので、
Everything has ITS season. として、everything（という単数名詞＝代名詞はit）について「その」最善の状態がある、という意味で its をつけます。