I なのにwere？

英語には「仮定法」という文法があって、
今の時制を１つ過去にずらす（今のことは過去形へ、過去のことは過去完了形へ）ずらすことで、本当はそうじゃない（そうじゃなかった）んだけど、もしそうなら（そうであったなら）、ということを言うことができます。

I was ～ というのが、過去に実際にそうであったことを言い表すことになるので、それと区別するために I were とわざと言うというやり方がされています。

チャーリーブラウンが言っていることについては、（本当はそうじゃないんだけど）私が主人で君が私の飼い犬だったとしたら？と言っていて、これは事実ではなくあくまで仮定してのことなので、動詞を過去形にして were を使っています。

それに対するスヌーピーの返答は、
え、僕が主人だと思ったけど。ということで、こちらはスヌーピーがそう思っていたということで、それが事実であった（とスヌーピーは思っていた）ので、普通の過去形である was を使っています。