回答
I am doing good. はとても頻繁に使われる表現です。
英語の文法として、do good というところで good のところには do について修飾する副詞が入るべきなのですが、本来 good ということばは副詞としてではなく形容詞として使うことばなので、文法的に正しく言おうとすると適切な副詞を使って I am doing well. などとするのでしょうが、日常生活の中では、文法的に正しくない表現が一般的に受け入れられて非常に頻繁に使われるということがよくありますので、I'm doing good. が文法的に正しくない、ということが気になるとしたら、それが敢えて使用されている背景について考えてみると面白い考察ができると思います。
I'm doing good. は、主語+動詞の現在進行形（+副詞）、ということで、SV の第一文型です。do は自動詞として主語がどういう状態である（元気にやっている、など）を表す動詞として使うことができます。
また、英語では I'm good. という表現も多用されていることから、ひょっとしたらこの I'm good. をいまこの瞬間でどうかということを表すために現在進行形で言う際に、I'm being good. （いい子でいる）ということと区別して、I'm doing good. と言うことがひろまったのかもしれません。
以下は主観的な理解でひょっとしたら地域的に違いがあるのかもしれませんが、私の身の回りでは、
I'm doing well. は、健康状態や経済的状況なども含めて、最近はうまくやっている、うまくいっている、という時に使います。
I'm doing good. は、作業や課題など成功や達成をするかしないかということについて、今その瞬間にうまくやれている、うまくいっている、という時に使います。
I'm well. というと、健康状態や経済的状況がよい、ということで、
I'm good. というと、いまその瞬間に必要なことが足りている、うまくいっている、ということになります。
A: I haven't seen you recently so I thought I would give you a call. How's everything?
B: I'm doing well. I'm a little tied up with taking care of my mom, but everything is good.
A: Would you like some more water?
B: No, I'm good, thanks.
A: Hi, how's your day going so far?
B: Yeah, I'm doing good, can't complain.