Whatの役割について

This unusual weather pattern during what should be a busy tourist season in New Hampshire is causing concern and a sense of displacement for residents.
という文の、
during what should be a busy tourist season in New Hampshire
という部分で使われている what ですが、

この what は something that で置き換えてみるとわかりやすいかもしれません。
during <something that> should be a busy tourist season in New Hampshire
つまり、New Hampshire で a busy tourist season であるべきところの（もの、こと）
ということです。

こうすると、この what が関係代名詞で、during の後の名詞節の主語になっている、ということがわかります。