What day of the month is it today？ の回答は？

問われているのが日なので、日だけを答えるのが自然です。

しかし通常、What day を使うのは曜日を尋ねるときです。
　What day of the week is it today?
　What day is it today?
　What day is today?
いずれも曜日を答えます。今日が何日か尋ねる場合は、月はすでに分かっていても date を使います。
　What is the date today?
　What is today’s date?
答えは、
　June 8 (June eighth)
でも良いですし、質問した人が月を分かっているようであれば、
　the 8th (the eighth)
と日だけを答えても構いません。