beingの働き

序文や後書きの類は本文とは異なりますので、「学校」や「生徒」と訳しても差し支えはないと思われます。

twinverse氏へ
質問者です。
返信ありがとうございます。
ご指摘の通り、この文からは、schoolを学派と解釈することは可能だと思います。
もしschoolが学派を意味するならば、
teacher：学派の指導者
every school：全ての学派
its own class book：その学派自身の集団で使用する本
このように訳せると思います。

私は、学派の可能性について検討しました。
Dionysius Lardnerが書いたこの文は、The First Six Books of the Elements of Euclidの序文にあり、この序文の最後には次の文があります。

I have directed that the cuts of this work shall be published separately, in a small size, for the convenience of students who are taught in classes where the use of the book itself is not permitted.
London, May 1828
私は、この著作を複数に分けたものが、この本の使用が可能でない諸々の学級の中で教えられる生徒達の便利さの為に、別々に、小さな大きさで印刷されるよう指示してしまっている。ロンドン、1828年5月

この文では、studentsは一般の生徒と思われます。したがって、schoolは学派ではなく、一般の学校と考えますがどうでしょうか。
貴重なご意見、ありがとうございました。

この場合の"school"は「学校」ではなくて「学派」と訳すべきではないですかね？
ただし、お示しの英文を隅から隅まで読んでみたわけではありませんので間違っているかも知れませんが。

school
2C（学問・芸術などの）同じ流派の人々（解説的語義）
学派，…派；（一般に）（考え・習慣などの）流儀，見方，やり方，方法；((英))賭け事［飲み］仲間
https://dictionary.goo.ne.jp/word/en/school/#ej-74380

Kevin@MusicoLingo氏とtwinverse氏へ
質問者です。
このような分詞構文の使い方があることに、大変驚きました。
・文中に入れる場合は、カンマだけでなくセミコロンでも可能
・分詞構文の意味は、時・原因・条件・譲歩・付帯状況があるが、この場合、どれ
　にも該当しない。この文は、「すなわち～」として前の文を説明
　しかし、この場合でも該当する。
・A is B→A being B の形の分詞構文もある

なおセミクロンをカンマと考え、一つの文にすると次のように訳されます。
「Every school would have a different standard, matter of assumption in one being matter of demonstration in another, until, at length, Geometry, in the ancient sense of the word, would be altogether frittered away or be only considered as a particular application of Arithmetic and Algebra.」
「全ての学校は、最後に幾何学が、その言葉の古来の意味において、完全に無駄に使われるか、或いは算術や代数学の特別な応用としてのみ考えられるだけであろうという事に至るまで、ある学校の仮定の問題は、他の学校では証明の問題であるという異なる基準を持つであろう。」

大変勉強になりました。
丁寧なご説明、有難うございました。

もともと、

Every school would have a different standard until, at length, Geometry, in the ancient sense of the word, would be altogether frittered away or be only considered as a particular application of Arithmetic and Algebra.

という文の中に、

Matter of assumption in one school is matter of demonstration in another school.

という文を挿入しています。セミコロンで囲まれた部分です。その際、これを文のまま挿入しないように、is を being に変えて分詞構文にしています。

matter of assumption in one being matter of demonstration in another

このような書き方は、現代では好まれません。古い文章だとは思っていましたが、1846年は想像していませんでした。現代では、ビジネスでも、スピーチでも、日常生活でも、相手に正確に効果的に伝わる文章が求められます。

日本語で言えば、江戸時代の文章を読んだアメリカ人に、「どうしてこの日本語はこのような言葉を使っているのか」と問われたところで、それに対して、文法的に解説する価値があるのかどうか、疑問です。それと同じです。

和訳のチェックですが、私は若干の料金をいただいているので、どなたか他の方にお願いします。

分詞構文です。

twinverse氏へ
質問者です。
Kevin@MusicoLingo氏から指摘があったので、前後の文を掲載しました。
まだ不足という事なので、文を補足します。
　私が質問した文と私の訳を掲示します。
matter of assumption in one being matter of demonstration in another;
ある学校の仮定の問題は、他の学校の証明の問題
　ここで、私が質問したい事はbeingの働きです。例えば、他の動詞が省略されているとか、being matter of demonstration in anotherは形容詞句で前の文を修飾するとかです。
　なお再度、前後の文と私の訳を掲示しておきます。
「It was with reference to such a danger that Lardner wrote in 1846:
“Euclid once superseded, every teacher would esteem his own work the best, and every school would have its own class book.
All that rigour and exactitude which have so long excited the admiration of men of science would be at an end.
These very words would lose all definite meaning.
Every school would have a different standard;
matter of assumption in one being matter of demonstration in another;
until, at length, Geometry, in the ancient sense of the word, would be altogether frittered away or be only considered as a particular application of Arithmetic and Algebra.”
　Lardnerが1846年に書いたのは、そのような危険に関してである。
もしユークリッドが、いったん取り換えられたならば、全ての教師は彼自身の著書を最善と評価するであろう。そしてすべての学校は、学校自身の授業の本を持つであろう。
非常に長く、科学者達の称賛を引き起こした厳密さと正確さという全てが、終わりになるだろう。
これらの本当の言葉は、あらゆる定義された意味を失うであろう。
全ての学校は、異なる基準を持つであろう。
；ある学校の仮定の問題は、他の学校では証明の問題である。
；ついに最後には、幾何学は、その言葉の古来の意味においては、全体的に見て絶えず無駄に使われるか、或いは算術や代数学の特別な応用としてのみ考えられるだけであろう。」(前の訳をいくつか修正しました）
宜しくお願いします。

とにかく、文の一部だけを抜き出して質問されても迷惑なのですよ。

twinverse様へ
質問者です。返答ありがとうございます。
　私が質問をしたいのは、英文の日本語訳ではなく、
matter of assumption in one being matter of demonstration in another;の文におけるbeingの働きです。例えば、分詞構文とか、動名詞とかで、beingの働きとこの文全体の構造が理解できなかったので、質問させていただきました。
　勿論、文の構造がわかれば正確に訳すことができます。また私が訳した文に誤訳があれば、ご指摘していただければありがたいです。
宜しくお願いします。

あなたも本格的に翻訳をやっておられるのであれば、長い文章の一部だけを抜き出して訳してみろと言われてもそれは無理だということは最初からわかりそうなものだと思いますがね。
ましてや、かなりの専門的な知識を必要とする文書であればなお更ですよ。

質問者です。返答ありがとうございます。
全文を記載します。宜しくお願いします。
Euclid. The elements. Thomas l Heath.P6より
また私の訳に誤訳がありましたならば、ご指摘、お願いします。

“Euclid once superseded, every teacher would esteem his own work the best, and every school would have its own class book.
All that rigour and exactitude which have so long excited the admiration of men of science would be at an end.
These very words would lose all definite meaning.
Every school would have a different standard;
matter of assumption in one being matter of demonstration in another;
until, at length, Geometry, in the ancient sense of the word, would be altogether frittered away or be only considered as a particular application of Arithmetic and Algebra.”
もしユークリッドが、いったん取り換えられたならば、全ての教師は彼自身の著書を最善と評価するでしょう。そしてすべての学校は、学校自身の学級の本を持つであろう。
非常に長く、科学者達の称賛を起こした厳密さと正確さという全てが、終わりになるだろう。
これらの全ての言葉が、全ての定義された意味を失うであろう。
全ての学校は、異なる基準を持つであろう。
；ある人の仮定の問題は、他の人では証明の問題。
ついに、ようやく、幾何学は、その言葉の昔の意味の中で、完全に浪費されるか、或いは算術や代数学の特別な応用としてのみ考えられるだけであろう。

これは文ではありません。文の一部です。せめて完全な文が見えないと、うまく回答できません。