but は、その前に何か言われた・書かれたことがあって、それに対して「でも」と言う時に使えることばです。
I like cooking, but I don't like running. はその良い例で、お料理は好きなん「だけど」、ジョギングは好きじゃない、と but を使って言っています。
I Know. But I did study. の場合、I know. は「知っています。」という意味というよりは、「そうなんです。」という意味になります。この前に言われた・書かれた何かについて、「そうなんです、でも、ちゃんと勉強はしたんですよ。」言っています。