have gotten

wish やhope等の意図や願望を表現する動詞の後ろに、to have +過去分詞が来ると、既に起こったことに対する願望を表現することになるので、「～したかったけど、できなかった」という意味になります。

gottenは、前にhaveがあるので、過去分詞形になっています。
get ＋目的語＋補語で,　目的語を補語の状態にしておくという意味になります。
今回、目的語がhomework（宿題）で補語がfinished（終わらせた）なので、
「宿題を終わらせた状態にしておく」という意味になります。
上の2つを合わせると、質問に書かれている翻訳の意味になると思います。

余談ですが、願望を表す動詞は、動詞ごとにニュアンスが異なります。
hopeの場合は、実現する可能性が高い願望の場合に使用します。
そのため、質問文の彼は、宿題を終わらせたいと思った時は、実際に終わらせることができると思っていたと分かります。（実際は何か理由があり、終わらせられることができなかった。）