that の位置

Many books (that were written 10 years ago) are no longer relevant today.
と言っているのは、主文は
Many books (******************************) are no longer relevant today.
というところです。
******のところは、many books の説明のために挿入している節です。

Many books were written 10 years ago (that are no longer relevant today).
とすると、
no longer relevant today なのは 10 years ago となってしまいますが、それなら10 years ago は強いて言えば単数ですから、
Many books were written 10 years ago (that IS no longer relevant today).
となるわけですが、
今となってはもはやrelevantではない10年前に、多くの本が書かれた
ってことになるので、意味も変わるし、もはやrelevantではない10年前ってなんのこと？って感じで、文章がちょっと意味不明になりますね。

that 節は many books の説明のためにありますから、many books の直後にもってこないとだめです。
それがいやなら、
Many books were written 10 years ago. Those books are no longer relevant today.
とか言えばいいでしょう。